Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+n-1，求数列的前n项和T_n，并证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知a₁+a₂+a₃+…+a_n=，所以，故a_n-a_n-1=3．所以{a_n}为等差数列，公差d=3．由a₂，a₄，a₉成等比数列，解得a₁=1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，知==，故T_n==，由此能求出数列的前n项和T_n，并证明．
解答：解：（1）∵，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=，
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=（a_n+1）（a_n+2），
∴6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=-3a_n+2=（a_n-1）（a_n-2），
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=6S_n-1，
又由已知可得6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2），
故（a_n-1+1）（a_n-1+2）=（a_n-1）（a_n-2），
∴，
，
（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=3（a_n+a_n-1）
∴a_n-a_n-1=3．所以{a_n}为等差数列，公差d=3．
∵a₂，a₄，a₉成等比数列，
∴3+a₁，9+a₁，24+a₁成等比数列，
∴，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，
∴==，
∴T_n=
==．
∵T_n==，
∴，
∵n∈N^*，∴当n=1时，T_n取最小值．
故．
点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算，并证明．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．