Question

设动直线x=m与函数f（x）=x²，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（　　）

• A．

  1

  2

  +

  1

  2

  ln2
• B．

  1

  2

  -

  1

  2

  ln2
• C．1+ln2
• D．ln2-1

Answer 1

分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．

解答：解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-lnx（x＞0），
求导数得y′=2x-

1

x

=

2x2-1

x

（x＞0）
令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜

2

2

∴函数在（0，

2

2

）上为单调减函数，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞

2

2

∴函数在（

2

2

，+∞）上为单调增函数，
∴x=

2

2

时，函数取得唯一的极小值，即最小值为：

1

2

-ln

2

2

=

1

2

+

1

2

ln2
故所求|MN|的最小值即为函数y的最小值：

1

2

+

1

2

ln2
故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，属中档题．