Question

如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为

2

3

AP，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=

3π

4

时，点P的速度为v，求这时点M的速度．

Answer 1

分析：设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求导．

解答：解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由题意弧AC的长为

2

3

x，半径OC=1，可知θ=

2

3

x，考虑θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴

AM

AP

=

DM

DC

．
∵DM=y-（1-cos

2

3

x），DC=sin

2

3

x，∴

y

x

=

y-(1-cos 2 3 x)

sin 2 3 x

∴y=

x(1-cos 2 3 x)

x-sin 2 3 x

．
上式两边对时间t进行求导，则y′_t=y′_x•x′_t．
∴y′_t=[

(x-sin 2 3 x)(1-cos 2 3 x+ 2 3 xsin 2 3 x)-x(1-cos 2 3 x)(1- 2 3 cos 2 3 x)

(x-sin 2 3 x)2

]x′t
当x=

3

4

π时，x′_t=v，代入上式得点M的速度y′t=

2(3π2-4π-8)

(3π-4)2

v．

点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数的几何意义；
同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．