Question

若椭圆

x2

m

+y2=1 (m＞1)与双曲线

x2

n

-y2=

1

(n＞0)有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是（　　）

A．4

B．2

C．1

D． 1 2

Answer 1

由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2

m

，双曲线的实轴长为2

n

，
由它们有相同的焦点，得到m-n=2．
不妨设m=5，n=3，
椭圆的长轴长2

5

，双曲线的实轴长为2

3

，
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2

3

  ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2

5

  ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=16
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
则△F₁PF₂的形状是直角三角形
△PF₁F₂的面积为

1

2

•PF₁•PF₂=

1

2

（

5

+

3

）（

5

-

3

）=1
故选C．