Question

【题目】已知椭圆过点，其离心率为。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的右顶点为，直线交于两点（异于点），若在上，且，，证明直线过定点。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）借助题设条件建立方程组求解；（Ⅱ）借助题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立方程求解推证。

试题解析：

（Ⅰ）由已知得：

解之得：，，

所以椭圆的方程；

（Ⅱ）因为，，

所以，

所以，即

当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，

代入椭圆方程消去整理得：，

因为直线与椭圆交于不同的两点，

所以，即，，

且，，

设，，因为，

所以，即：，

所以，

整理得：，

所以或，均满足，

当时，直线的方程为，直线过定点；当直线的斜率不存在时，也符合，

当时，直线的方程为，直线过定点，不合题意；

综上知，直线过定点。