题目内容
12．观察下列等式：$\sqrt{11-2}$=$\sqrt{9}$=3（即3×1）．$\sqrt{1111-22}$=$\sqrt{1089}$=33（即3×11）．
$\sqrt{111111-222}$=$\sqrt{110889}$=333（即3×111）．
由此猜想$\sqrt{\underset{\underbrace{1111…1}}{4030个}-\underset{\underbrace{22…2}}{2015个}}$=3×$\underset{\underbrace{11…1}}{2015个}$．
分析 首先由题意可得当被开方数中有2个1减去1个2时，得1个3，当被开方数中有4个1减去2个2时，得2个3，当被开方数中有6个1减去3个2时，得3个3，即可得到规律：当被开方数中有2n个1减去n个2时，得n个3，则问题得解．
解答 解：∵$\sqrt{11-2}$=$\sqrt{9}$=3（即3×1）．
$\sqrt{1111-22}$=$\sqrt{1089}$=33（即3×11）．
$\sqrt{111111-222}$=$\sqrt{110889}$=333（即3×111）．
∴可得到规律：当被开方数中有2n个1减去n个2时，算术平方根为n个3，
∴$\sqrt{\underset{\underbrace{1111…1}}{4030个}-\underset{\underbrace{22…2}}{2015个}}$=3×$\underset{\underbrace{11…1}}{2015个}$．
故答案为：3×$\underset{\underbrace{11…1}}{2015个}$．
点评 此题考查了规律性问题．解题的关键是找到规律，难度比较大．
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