题目内容

等差数列｛an｝的公差d≠0,它的部分项依次组成的数列,,,…,,…,成等比数列，其中k1=1,k2=5,k3=17.

(1)求等比数列,,,…,,…的公比q.

(2)求kn，并求k1+k2+…+kn.

 

答案：
解析：

(1)∵｛an｝成等差数列.

=a1

=a5=a1+4d

=a17=a1+16d

又｛｝成等比数列.

∴a52=a1a17即(a1+4d)2=a1(a1+16d)

整理得：16d2=8a1d,又d≠0.

∴a1=2d, =a1=2d,

=a5=6d

∴=3

∴｛｝数列的公比为3.

(2)由(1)得an=a1+(n－1)d=(n+1)d

∴=(kn+1)d

又=a1qn－1=2d·3n－1

∴kn=2·3n－1－1

k1+k2+…+kn

=(2－1)+(2·3－1)+…+(2·3n－1－1)

=2(1+3+…+3n－1)－n

=3n－n－1

 


练习册系列答案
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如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（1）设数列{an}是公方差为p的等方差数列，求an和an-1（n≥2，n∈N）的关系式；
（2）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
（3）设数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a1，a2，a3，…，a10这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a8的值为
3
3
．
（2012•安徽模拟）如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．
如果一个数列的各项均为实数，且从第二项起开始，每一项的平方与它前一项的平方的差都是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
（1）若数列{bn}是等方差数列，b1=1，b2=3，求b7；
（2）是否存在一个非常数数列的等差数列或等比数列，同时也是等方差数列？若存在，求出这个数列；若不存在，说明理由．
（3）若正项数列{an}是首项为2、公方差为4的等方差数列，数列{
1
an
}的前n项和为Tn，是否存在正整数p，q，使不等式Tn＞
pn+q
-1对一切n∈N*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由．
若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，前n项和为Tn，并且an2=T2n-1，求通项an；
（Ⅱ）若数列{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且an2=2n+1bn．2n•Sn＞m•2n-2an2对?n∈N*恒成立，求m的取值范围．

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