Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3），曲线在点A处的切线恰好与直线x+7y=0垂直．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3）⇒a+b=3①；f′（1）=3a+2b，f′（1）•（-）=-1②，①②联立即可求得实数a，b的值；
（Ⅱ）由f′（x）=3x²+4x≤0⇒-≤x≤0，函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减⇒[m-1，m]⊆[-，0]，从而可求得m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点A（1，3）
∴a+b=3---（1分）
∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴f′（1）=3a+2b-------------（2分）
由已知条件知f′（1）•（-）=-1，
即3a+2b=7-------------（4分）
∴解得：-------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³+2x²，f′（x）=3x²+4x，
令f′（x）=3x²+4x≤0，则-≤x≤0--------------（8分）
∵函数f（x）在区间[m-1，m]上单调递减，
∴[m-1，m]⊆[-，0]，
∴，即-≤m≤0---------------（12分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查方程思想与集合的包含关系，考查分析运算能力，属于中档题．