Question

【题目】已知函数，且．

（1）求函数在上的单调区间，并给以证明；

（2）设关于的方程的两根为，试问是否存在实数，使得不等式对任意的及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）存在实数符合题意，其取值范围是．

【解析】试题分析：（1）由可得，所以，然后利用函数单调性的定义求出函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为。（2）由题意先求出的最大值为3，所以由题意可得当，不等式恒成立，构造函数，只需满足，解得或，由此可得所求范围，从而说明存在实数满足题意。

试题解析：

（1）∵，

∴，

∴。

设，且，

则，

①当时， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函数在上单调递增；

②当时， ，

∴，又，

∴，

∴，

∴函数在上单调递减，

∴函数在上的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由，得，

∴是方程的两根，

∴，

又，

∴，

故由题意得当，不等式恒成立，

设，

则只须，

解得或，

故存在实数符合题意，其取值范围是．