Question

已知数列{a_n}满足a₂=2，（n-1）a_n+1-na_n+1=0（n∈N^*），求数列{a_n}的通项．

Answer 1

【答案】分析：本题考查的知识点是数列的相关性质及数学归纳法．由（n-1）a_n+1-na_n+1=0，a₂=2，我们要以依次求出数列的前几项，分析规律后，可归纳出数列的通项公式，但归纳推理的结论不一定正确，故我们可以用数学归纳法，对归纳推理的结论再进行证明．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=1，
a₁=1，可得a₃=3，猜想a_n=n．
证明如下：
当n=1，2时，猜想成立，
当n≥2时，递推式为（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0
故当n=k+1时，（k-1）a_k+1-ka_k+1=0
即（k-1）a_k+1-k²+1=0
∵k≥2，
∴k-1≠0，
∵a_k+1=k+1，即n=k+1时猜想成立
∴n∈N^*有a_n=n
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证．