Question

【题目】已知函数 （ 为实常数）．

（Ⅰ）若 ，作函数 的图像；

(Ⅱ)设在区间[1,2]上的最小值为 ，求的表达式；

（Ⅲ）设 ，若函数在区间[1,2]上是增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，并根据二次函数性质画图（2）先根据a的值分类讨论函数单调性：若 ，函数单调递减；若 ，函数单调递增；若 ，函数先减后增；最后求出对应情况下最小值（3）由题意得函数导函数在[1,2]上恒非负，根据导函数为单调函数得不等式组，解不等式组可得实数的取值范围．

试题解析：解：（Ⅰ）当时，．

作图

（Ⅱ）当时，．

若，则在区间上是减函数，

．

若，则，图像的对称轴是直线．

当时，在区间上是减函数，

当，即时，在区间上是增函数，

．

当，即时，，

当，即时，在区间上是减函数

．综上可得 ．

（Ⅲ）当时，，在区间上任取，，且，

则

．

因为在区间上是增函数，所以，

因为，，所以，即，

当时，上面的不等式变为，即时结论成立．

当时，，由得，，解得，

当时，，由得，，解得，

所以，实数的取值范围为．