Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（Ⅰ）求cosC的取值范围；
（Ⅱ）当∠C取最大值，且c=2时，求△ABC面积的最大值并指出取最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件及同角三角函数的基本关系得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值． 
（Ⅱ）根据角C的范围可得当∠C取最大值时 ∠C=

π

3

，由余弦定理和基本不等式求得ab≤4，从而得到△ABC面积的最大值，根据不等式中等号成立条件判断△ABC的形状．

解答：解：（Ⅰ）由已知得：

cosC＞0 (4sinC)2-24cosC≤0

?2cos2C+3cosC-2≥0，
∴cosC≥

1

2

，或cosC≤-2（{舍去}）．∴

1

2

≤cosC＜1．
（Ⅱ）∵0＜C＜π，cosC≥

1

2

，∴当∠C取最大值时，∠C=

π

3

．
由余弦定理得：2²=a²+b²-2ab•cos

π

3

?4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴S△ABC=

1

2

ab•sin

π

3

=

3

4

ab≤

3

，当且仅当a=b时取等号，此时(S△ABC)max=

3

，
由a=b，∠C=

π

3

可得△ABC为等边三角形．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得应用，求出角C的最大值是解题的关键，属于中档题．