题目内容
三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是 （只写序号）①
②
③
④tanA+tanB+tanC＞0．
【答案】分析：①两边同时平方可得，sinAcosA=-
＜0，从而可判断
②由
可得
，可得
，但是角A，C的范围无法确定
③由
，利用正弦定理可得，
可求sinC，进而可求C，A
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
解答：解：①由
，两边同时平方可得，sinAcosA=-
＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴
，三角形ABC是钝角三角形
②由
可得
∴
，但是角A，C的范围无法确定
③由
，利用正弦定理可得，
∴sinC=
=
∵c＞b
∴C＞B=30°
∴
或
均不是锐角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④
点评：本题以三角形的形状的判断为载体，主要考查了同角平方关系、向量的夹角的定义、正弦定理及两角和的正切公式的综合应用．
＜0，从而可判断②由
可得
，可得
，但是角A，C的范围无法确定③由
，利用正弦定理可得，
可求sinC，进而可求C，A④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
解答：解：①由
，两边同时平方可得，sinAcosA=-
＜0∴sinA＞0，cosA＜0
∴
，三角形ABC是钝角三角形②由
可得
∴
，但是角A，C的范围无法确定③由
，利用正弦定理可得，
∴sinC=
=
∵c＞b
∴C＞B=30°
∴
或
均不是锐角三角形④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④
点评：本题以三角形的形状的判断为载体，主要考查了同角平方关系、向量的夹角的定义、正弦定理及两角和的正切公式的综合应用．
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