Question

证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比.

Answer 1

思路分析:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.

证明:(1)如图3-1-7,△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂和△A₁′B₁′C₁′、△A₂′B₂′C₂′各有两对对应顶点A₁和A₁′,B₁和B₁′,A₂和A₂′,B₂和B₂′重合,在两平面的交线g上.

图3-1-7

∵C₁与C₁′,C₂与C₂′是射影对应点,

∴C₁C₁′∥C₂C₂′.

由这些点向对应轴直线g作垂线C₁H₁,C₁′H₁′,C₂H₂,C₂′H₂′.

设C₁C₂与C₁′C₂′相交于直线g上一点x,由相似三角形得

=,=.

∵C₁C₁′∥C₂C₂′,∴===k时,

==k.

又∵△A₁B₁C₁与△A₁′B₁′C₁′同底,△A₂B₂C₂与△A₂′B₂′C₂′同底,

∴或=k,

其中k为常数.

(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.

图3-1-8

在△A₁B₁C₁与其射影A₁′B₁′C₁′中,三对对应边相交于对应轴g上.

由(1)中结论知:

=k,即=k.

=k,即=k.

=k,即=k.

∴=+-=k+k-k=k(+-)=k.

∴=k.同理,=k,

∴.