Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，O为AC中点．（Ⅰ）在BC₁上确定一点E，使得OE∥平面A₁AB，并说明理由；（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中AA₁=A₁C=AC=2，O为AC中点，则A₁O⊥AC．又由侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，由面面垂直性质可得A₁O⊥平面ABC．以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，设出E点的坐标，然后根据线面平行向量法公式及向量共线构造方程组，解方程即可判断出满足条件的E的位置．
（II）分别求出平面A₁BC₁的法向量与平面A₁AB的法向量，然后代入二面角向量法夹角公式，即可得到二面角A-A₁B-C₁的大小．

解答：解：（Ⅰ）E为BC₁中点．（2分）
因为A₁A=A₁C，且O为d的中点，所以A₁O⊥AC．
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，所以A₁O⊥平面ABC．以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（1分）
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
则有：

A1C

=(0，1，-

3

)，

AA1

=(0，1，

3

)，

AB

=(1，1，0)．（2分）
设平面AA₁B的一个法向量为n=（x，y，z），则有

n• AA1 =0 n• AB =0

?

y+ 3 z=0 x+y=0

，令y=1，得x=-1，z=-

3

3

所以n=(-1，1，-

3

3

)．（4分）
设E=(x0，y0，z0)，

BE

=λ

BC1

，即(x0-1，y0，z0)=λ(-1，2，

3

)，得

x0=1-λ y0=2λ z0= 3 λ

所以E=(1-λ，2λ，

3

λ)，得

OE

=(1-λ，2λ，

3

λ)，由已知OE∥平面A₁AB，
得

OE

•n=0，即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=

1

2

．即存在这样的点E，E为BC₁的中点．（6分）
（Ⅱ）由（I）得，已知

A1B

=(1，0，-

3

)，

A1C1

=(0，2，0)，设面A₁BC₁的法向量为
m=（a，b，c），则

m• A1B m• A1C1

=0  =0

?

a- 3 c=0&  2b=0

，令c=

3

，所以m=(3，0，

3

)．（8分）
所以cos＜m，n＞=

m•n

|m|m|

=

-3-1

12 • 7 3

=

2 7

7

．（10分）
由图可得二面角A-A₁B-C₁的大小为arccos(-

2 7

7

)．（12分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，建立空间坐标系，将线面垂直、平行及夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．