Question

在正四面体A-BCD中，棱长为4，M是BC的中点，P在线段AM上运动（P不与A、M重合），过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：①BC⊥面AMD；②Q点一定在直线DM上 ③V_C-AMD=4

2

．其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

分析：①因为AM⊥BC，DM⊥BC所以BC⊥平面ADM．故①正确
②因为PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD所以PQ⊥BC因为P∈AM所以P∈平面AMD因为BC⊥平面AMD所以Q∈平面AMD因为平面AMD∩平面BCD=MD所以Q∈MD故②正确．
③因为BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C-MAD的高，△AMD为其底面，S△AMD=4

2

，VC-AMD=

8 2

3

．故③错误

解答：解：∵A-BCD为正四面体且M为BC的中点
∴AM⊥BC，DM⊥BC
又∵AM∩DM=M
∴BC⊥平面ADM
故①正确．
∵PQ⊥平面BCD，BC?平面BCD
∴PQ⊥BC
又∵P∈AM∴P∈平面AMD
又∵BC⊥平面AMD
∴Q∈平面AMD
又∵平面AMD∩平面BCD=MD
∴Q∈MD
故②正确．
由①得BC⊥平面ADM∴把MC作为四面体C-MAD的高，△AMD为其底面
在三角形△AMD中AM=MD=2

3

，AD=4
∴S△AMD=4

2

∴VC-AMD=

1

3

×4

2

×2=

8 2

3

故③错误．
故选A．

点评：证明线面垂直要找到直线与平面内的两条相交直线都垂直这是关键；证明点在直线上只要证明点在两个平面的交线上即可；求四面体的体积关键是找到合适的底面与高即底面与高要简单易求．