题目内容

对于x∈（1，2]，关于x的不等式 $数学公式$ ＜1总成立，求实数a的取值范围．

解：由1＜x≤2，得a＞0，a+x＞1，
∴lg（a+x）＞0
∵ $\text{[math]}$ ＜1总成立
∴lg2ax＜lg（a+x），即2ax＜a+x
∴（2a-1）x＜a总成立
（1）a＞ $\text{[math]}$ 时，x＜ $\text{[math]}$ ，由1＜x≤2时x＜ $\text{[math]}$ 总成立，得 $\text{[math]}$ ＞2，
∴ $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$
（2）a= $\text{[math]}$ 时，有0•x＜ $\text{[math]}$
∴1＜x≤2时不等式总成立
（3）0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，x＞ $\text{[math]}$ ，由1＜x≤2时x＞ $\text{[math]}$ 总成立，
∴a≤1，
综合0＜a＜ $\text{[math]}$ ，得0＜a＜ $\text{[math]}$
综上三类讨论可得，0＜a＜ $\text{[math]}$
分析：由题意可得，lg（a+x）＞0，则由不等式 $\text{[math]}$ ＜1总成立可得（2a-1）x＜a总成立，从而需要对2a-1的正负讨论
（1）a＞ $\text{[math]}$ 时，由1＜x≤2时x＜ $\text{[math]}$ 可得x＜ $\text{[math]}$ 的最小值即可；（2）a= $\text{[math]}$ 时，（3）0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，x＞ $\text{[math]}$ ，x＞ $\text{[math]}$ 的最大值即可，从而可求a的范围
点评：本题主要考查了对数函数的单调性在不等式中的应用，函数的恒成立与函数最值求解的相互转化，要注意分类讨论思想的应用．