Question

函数f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(x＞0，a∈R)．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

对于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

分析：（1）函数的定义域是（0，+∞），求出导数，分a≤0和a＞0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间．
（2）由函数的单调性知，函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0．
（3）将要证的不等式等价转化为g（x）＞0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．

解答：解：（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=

1

x

-

a

x2

，
 若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
（3）要证

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即证

1

lnx

＜

1

x-1

+

1

2

，即证lnx＞

2x-2

x+1

设g(x)=lnx-

2x-2

x+1

，∴g′(x)=

1

x

-

4

(x+1)2

＞0，x∈(1，2)恒成立
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要证g（x）＞0，只要证g（x）
的最小值大于0．