题目内容
已知x、y＞0,且x+y=1,求证:(1+
)(1+
)≥9.
分析：要证的不等式中有四个“1”，已知条件中有x+y=1,因此要充分利用“1”来解决.
证法一:(1+)(1+)=1+
+
+
=1+
+
+
=3+
+
+
+
=3+
+
+
+
=5+2(
+
)≥5+2×2
=9.
∴原不等式成立.
证法二：(1+
)(1+
)=
=
=
=5+
≥5+
=9,
∴原不等式成立.
证法三：设x=cos2θ,y=sin2θ,θ∈(0,
),
∴(1+
)(1+
)=(2+tan2θ)(2+cot2θ)=5+2(tan2θ+cot2θ)≥5+2×2
=9.
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