Question

已知f（x+1）=x²+4x+3（x≥-1）．
（1）求f（x），并指出定义域；
（2）求f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）由已知中f（x+1）=x²+4x+3（x≥-1）．利用凑配法可得f（x+1）=[（x+1）+1]²-1，（x+1≥0），进而得到函数f（x）的解析式及其定义域；
（2）由（1）中函数f（x）的解析式及其定义域，可得函数的值域，即反函数的定义域，反表示后，即可得到反函数f^-1（x）的解析式及其定义域．

解答：解：（1）∵f（x+1）=x²+4x+3
=（x+2）²-1
=[（x+1）+1]²-1，（x≥-1）
f（x）=（x+1）²-1（x≥0）
（2）由（1）中，f（x）=（x+1）²-1（x≥0）
∴f（x）∈[0，+∞）
令y=（x+1）²-1
∴y+1=（x+1）²，
∴x+1=

y+1

∴x=

y+1

-1，（y≥0）
∴f-1(x)=

x+1

-1(x≥0)

点评：本题考查的知识点是反函数，函数的定义域及其求法，函数的解析式的求解及常用方法，其中（1）中易忽略函数的定义域，（2）中求原函数的值域，即反函数的定义域是解答的关键．