题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，-1）， $数学公式$ =（ $数学公式$ sin $数学公式$ ，cos² $数学公式$ ），设函数f（x）= $数学公式$ + $数学公式$ ．
（1）若x∈[0， $数学公式$ ]，f（x）= $数学公式$ ，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c- $数学公式$ a，求f（B）的取值范围．

解：（1）依题意得f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ -cos² $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinx- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =sin（x- $\text{[math]}$ ），…（2分）
由 x∈[0， $\text{[math]}$ ]，得：- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0，
从而可得 cos（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，…（4分）
则cosx=cos[（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=cos（x- $\text{[math]}$ ） sin $\text{[math]}$ -sin（x- $\text{[math]}$ ） cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c- $\text{[math]}$ a 得 2sinBcosA≤2sin（A+B）- $\text{[math]}$ sinA，即 2sinAcosB≥ $\text{[math]}$ sinA，
由于sinA＞0，故有cosB≥ $\text{[math]}$ ，从而 0＜B≤ $\text{[math]}$ ，…（10分）
故f（B）=sin（B- $\text{[math]}$ ），由于 0＜B≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ＜B- $\text{[math]}$ ≤0，∴sin（B- $\text{[math]}$ ）∈（- $\text{[math]}$ ，0]，即f（B）∈（- $\text{[math]}$ ，0]．　…（12分）
分析：（1）依题意得f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由 x∈[0， $\text{[math]}$ ]，sin（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ＞0，cos（x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由cosx=cos[（x- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]利用两角和的余弦公式求得结果．
（2）由2bcosA≤2c- $\text{[math]}$ a 得：cosB≥ $\text{[math]}$ ，从而 0＜B≤ $\text{[math]}$ ，由此求得f（B）=sin（B- $\text{[math]}$ ）的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两角和的余弦公式，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．