Question

【题目】如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆形商城A也相切．

（1）当P距O处4千米时，求OQ的长；

（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．

Answer 1

【答案】(1) 3千米．(2) 千米

【解析】

（1）先建立以O为原点，直线l、m分别为x，y轴建立平面直角坐标系．设直线方程为：，由直线与圆的位置关系可得，运算即可得解；

（2）设，，由PQ与圆A相切，得，再结合重要不等式即可得解.

解：（1）以O为原点，直线l、m分别为x，y轴建立平面直角坐标系．

设PQ与圆A相切于点B，连结AB，以1千米为单位长度，

则圆A的方程为，

由题意可设直线PQ的方程为，即，，

∵PQ与圆A相切，∴，解得，

故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米．

（2）设，，

则直线PQ方程为，即．

因为PQ与圆A相切，所以，

化简得，即；

解法一：因此．

因为，，所以，于是．

又，解得，或

因为，所以，

，当且仅当时取等号，

所以PQ最小值为，此时．

答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为（千米）时，新建公路PQ最短．

解法二：

化简得，即．

因为

因为，所以．

当且仅当，即时取到等号，

答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为（千米）时，新建公路PQ最短．

解法三：设PQ与圆A相切于点B，连结AB、AP、AQ，设，

则，，且，∴，

又∵，∴，

∴

（当且仅当取等号）

答：当P、Q两点距离两公路的交点O都为（千米）时，新建公路PQ最短．

解法四：设PQ与相切于点B，设，，

则，，，

在中，由得：，

化简得：，∴，

解得：或（舍）

（当且仅当时等号成立）

∴当时，PQ有最小值；

答：当P、Q两点距离公路交点O都为（千米）时，新建公路PQ最短．