Question

（2009•普陀区一模）设关于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集为A，若A∩R^-=∅，则实数a的取值范围是

(4-2

2

，4+2

2

)

．

Answer 1

分析：根据题意，设关于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集的解集为空集，故将原方程变形为a=-2x+

1

|x|-2

，记右边对应的函数为F（x），求出此函数的值域，只要实数a在这个值域之外，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：关于x的方程

1

|x|-2

=2x+a等价于：a=-2x+

1

|x|-2

，
记F（x）=-2x+

1

|x|-2

=

-2x 2+4x+1 x-2 (x＞0且x≠2) -2x 2-4x-1 x+2 (x＜0且x≠-2)

可得当x＞0且x≠2时，函数F（x）＞0，且有最小值4+2

2

即函数F（x）≥4+2

2

当x＜0且x≠-2时，函数F（x）有最大值4-2

2

即函数F（x）≤4-2

2

所以函数F（x）的值域为(-∞，≤4-2

2

]∪[4+2

2

，+∞)
∵关于x的方程

1

|x|-2

=2x+a的解集为A，且A∩R^-=∅
∴a不属于函数F（x）的值域，即4-2

2

＜a＜4+2

2

故答案为：(4-2

2

，4+2

2

)

点评：本题以含有绝对值的分式函数为例，考查了函数与方程等知识点，属于难题．将方程进行变量分离，转化为一个新的函数的值域问题，来研究参数的取值范围，是解决本题的主要方法．