Question

已知函数f（x）=（a²-a+1）x^a+1为幂函数，且为奇函数；
（1）求a的值；
（2）求函数g(x)=f(x)+

1-2f(x)

在x∈[0，

1

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=（a²-a+1）x^a+1为幂函数，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．再利用函数是奇函数，进一步确定a的值．
（2）求得函数g（x）=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，利用换元法将函数转化为一元二次函数．再利用二次函数的性质求得函数的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=（a²-a+1）x^a+1为幂函数，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．
当a=0时，f（x）=x，为奇函数．
当a=1时，f（x）=x²，为偶函数，
∵f（x）为奇函数，∴a=0．
综上，a=0．
（2）∵函数g(x)=f(x)+

1-2f(x)

=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，
令 t=

1-2x

≥0，可得0≤t≤1，则x=

1-t2

2

，且 g（x）=

1-t2

2

+t=1-

1

2

（t-1）²，
故当t=0时，函数取得最小值为

1

2

，
当t=1时，函数取得最大值为1，
故函数的值域为[0，1]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，求函数的值域，属于中档题．