Question

【题目】设数列前项和为,对任意,点都在函数图像上．

（1）求、、,并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）的猜想；

（3）若数列满足：,,且对任意的,都有、、成公比为的等比数列,、、成等差数列,设,求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】（1）2,4,6,；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

(1) 由题意化简可得,再分别令,代入求解、、即可猜测.

(2)根据数学归纳法的一般方法,分析时,命题成立,再假设时,命题成立,即.则时代入求解得即可证明.

(3)根据题意先求根据求得,再根据、、成公比为的等比数列,以及、、成等差数列可得,进而求得,再代入计算可得即可证明数列为等差数列,进而求得通项公式.

（1）由题意,,∴,

令,得,∴,令,得,∴,

令,得,∴,

猜测；

（2）证明：时,命题成立,

假设时,命题成立,即,

则时,①,②,

②－①得,∴,即时,命题也成立,

由、可知,对任意的,都有成立,

（3）,,

∵、、成公比为的等比数列,∴,

又∵、、成等差数列,∴,

从而,∴,

∴,∴是首项为1,公差为1的等差数列,

∴．