Question

若P（2，-1）为曲线

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为

x-y-3=0

．

Answer 1

分析：由曲线

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π），知（x-1）²+y²=25，再由P（2，-1）为曲线

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中点，利用点差法能够求出该弦所在直线的普通方程．

解答：解：∵曲线

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π），
∴（x-1）²+y²=25，
∵P（2，-1）为曲线

x=1+5cosθ y=5sinθ

（0≤θ＜2π）的弦的中点，
设过点P（2，-1）的弦与（x-1）²+y²=25交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1+x2=4 y1+y2=-2

，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入（x-1）²+y²=25，
得

(x1-1)2+ y   1 2=25 (x2-1)2+y22=25

，
∴

x12-2x1+1+y12=25，① x22-2x2+1+y22=25，②

，
①-②，得4（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴该弦所在直线的普通方程为y+1=x-2，
即x-y-3=0．
故答案为：x-y-3=0．

点评：本题考查参数方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意参数方程和普通方程的相互转化和点差法的合理运用．