题目内容
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
【答案】分析：（1）利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得DP的长度；
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即
（2）记△ADP的面积为S1，则S1=
=
，
当且仅当x=
∈（1，2）时，S1取得最大值
故当薄板长为
米，宽为
米时，节能效果最好
（3）记△ADP的面积为S2，则S2S2S2=
=
，
于是S2′=
，∴
，
关于x的函数S2在（1，
）上递增，在（
，2）上递减．
所以当
时，S2取得最大值
故当薄板长为
米，宽为
米时，制冷效果最好
点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即
（2）记△ADP的面积为S1，则S1=
=，当且仅当x=
∈（1，2）时，S1取得最大值 故当薄板长为
米，宽为米时，节能效果最好 （3）记△ADP的面积为S2，则S2S2S2=
=，于是S2′=
，∴，关于x的函数S2在（1，
）上递增，在（，2）上递减．所以当
时，S2取得最大值 故当薄板长为
米，宽为米时，制冷效果最好点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．
练习册系列答案
相关题目
（2013•南通一模）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
．