题目内容

（2013•南通一模）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？
分析：（1）利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得DP的长度；
（2）表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值；
（3）表示出△ADP的面积，利用导数知识，可求最值．
解答：解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2   
设DP=y，则PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2，即y=2(1-
1
x
)，1＜x＜2
（2）记△ADP的面积为S1，则S1=(1-
1
x
)(2-x)=3-(x+
2
x
)≤3-2
2
，
当且仅当x=
2
∈（1，2）时，S1取得最大值  
故当薄板长为
2
米，宽为2-
2
米时，节能效果最好  
（3）记凹多边形ACB'PD的面积为S2，则S2=
1
2
x(2-x)+(1-
1
x
)(2-x)=3-
1
2
(x2+
4
x
)，1＜x＜2，
于是S2′=
-x3+2
x2
，∴x=
32
，
关于x的函数S2在（1，
32
）上递增，在（
32
，2）上递减．
所以当x=
32
时，S2取得最大值  
故当薄板长为
32
米，宽为2-
32
米时，制冷效果最好
点评：本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．
练习册系列答案
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（2013•南通一模）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于
5
，则该双曲线的标准方程为
x2
5
-
y2
20
=1
x2
5
-
y2
20
=1
．
（2013•南通一模）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的
否命题
否命题
．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）
（2013•南通一模）曲线f(x)=
f′(1)
e
ex-f(0)x+
1
2
x2在点（1，f（1））处的切线方程为
y=ex-
1
2
y=ex-
1
2
．
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±4
2
±4
2
．
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（1）若a=-1，求数列{an}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对?n∈N*，an是4的倍数．

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