Question

一个多面体的直观图及三视图分别如图所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MNAB₁．

（1）求实数a的值并证明MN平面BCC₁B₁；
（2）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值

Answer 1

解：（1）由图可知，ABC﹣A₁B₁C₁为直三棱柱，侧棱CC₁=a，底面为直角三角形，ACBC，AC=3，BC=4
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
因为MNAB₁，
所以解得：a=4
此时，，平面BCC₁B₁的法向量
∴
与平面BCC₁B₁的法向量垂直，
且MN平面BCC₁B₁
MN平面BCC₁B₁
（2） 平面ABC的法向量，
设平面AB₁C₁的法向量为，
平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的大小等于其法向量所成锐角的大小，
法向量满足：
因为A（3，0，0），C1（0，0，4），B₁（0，4，4），

所以，
所以，，
所以，
所以平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值为