Question

设x₁，x₂（x₁≠x₂）使函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点
（1）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；  
（2）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，函数g（x）=f（x）'-a（x-x₁），求证：|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴函数f（x）的导数为f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数的两个极值点
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个不相等的实数根，得

x1+x2=- 2b 3a x1•x2 =- a 3

∵两根x₁，x₂之积为-

a

3

＜0
∴两根x₁，x₂之中一正一负，可得|x1|+|x2|=|x1-x2|=2 

2

平方，得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=8
即：(-

2b

3a

)  2+

4a

3

=8
整理，得4b²=72a²-12a³，其中a＞0
∴b²=18a²-3a³
记F（a）=18a²-3a³，得F′（a）=36a-9a²=9a（4-a）
令F′（a）＞0，得0＜a＜4，F′（a）＜0，得a＞4，
∴F（a）在区间（0，4）上为增函数，在区间（4，+∞）上为减函数
可得F（a）在（0，+∞）上的最大值为F（4）=96
∴b的最大值为

96

=4

6

（2）由（1）的根与系数的关系，结合x₂=a，得

x1+a=- 2b 3a x1•a  =- a 3

?

x1= - 1 3 2b=-3a2+a

∴f'（x）=3ax²+2bx-a²=3ax²+（-3a²+a）x-a²
∴g（x）=f'（x）-a（x-x₁）=3ax²+（-3a²+a）x-a²-a（x+

1

3

）
=3ax²-3a²x-a²-

1

3

a=（x+

1

3

）（3ax-3a²-a）
g（x）的图象是开口向上的抛物线，关于直线x=

a

2

对称
它的两个零点为-

1

3

和

3a2+a

3a

，且-

1

3

＜

3a2+a

3a

∵x₁＜x＜x₂即x∈（-

1

3

，a），a＜

3a2+a

3a

=a+

1

3

∴g（x）＜0且g（x）的最小值为g（

a

2

）=-(

3

4

a3+a2+

a

3

)
∴不等式|g(x)|≤

3

4

a3+a2+

a

3

恒成立．