Question

【题目】如图，棱形与正三角形的边长均为2，它们所在平面互相垂直，，且．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值是．

【解析】

试题（1）依据线面平行的判定定理，需要在平面找到一条直线与直线平行即可．因为平面平面，则过点作于，连接，证明四边形为平行四边形即可；（2）由（1）知平面，又，为等边三角形，，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量即可．

试题解析：（1）如图，过点作于，连接，，可证得四边形为平行四边形，平面

（2）连接，由（1），得为中点，又，为等边三角形，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，

则

，

设平面的法向量为，

由即，令，得

设平面的法向量为

由即，令，得

所以，

所以二面角的余弦值是