Question

【题目】如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，四边形是矩形，平面平面， ， 和分别是和的中点．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求证：平面平面．

（Ⅲ）求多面体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）8

【解析】试题分析：（1）由面面垂直性质定理得平面，即得，而由正方形性质得，所以由线面垂直判定定理得平面．（2）设与相交于点，由三角形中位线性质易得， ，再由线面平行判定定理以及面面平行判定定理得结论（3）即求两个四棱锥与棱锥体积之和，而AC为高，根据锥体体积公式求体积

试题解析：（Ⅰ）证明：∵在正方形中，

，

∵平面平面，

且平面平面，

在矩形中，

，

∴平面，

∴，

∵点，

、平面，

∴平面．

（Ⅱ）设与相交于点，

∵、是、中点，

∴，

又∵、是、中点，

∴，

∵点，

点，

、平面，

、平面，

∴平面平面．

（Ⅲ）将多面体分割为

棱锥与棱锥，

∵、到平面的距离均为的长度，

∴

．