Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若AB=2，BC=1，AA₁=3，则BC₁与平面BB₁D₁D所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=

 

．

Answer 1

分析：过点C₁作B₁D₁的垂线，垂足为点O，连接BO，在长方体中由AB=2，BC=1，由长方体的性质可证有OC₁⊥BB₁，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC₁⊥平面BB₁D₁D，则∠C₁BO为则BC₁与平面BB₁D₁D所成角在Rt△BOC₁中可求．

解答：解：过点C₁作B₁D₁的垂线，垂足为点O，连接BO，在长方体中由AB=2，BC=1，
由长方体的性质可知BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁，从而有OC₁⊥BB₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁
∴OC₁⊥平面BB₁D₁D
则∠C₁BO为则BC₁与平面BB₁D₁D所成角
在Rt△BOC₁中，OC1=

2 5

5

，BC1=

10

∴sin∠OBC1=

OC1

BC1

=

2 5 5

10

=

2

5

故答案为：arcsin

2

5

．

点评：本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的求解，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．