题目内容
已知Sn=
·a1+
·a1+…+
an，n∈N*.（1）若Sn=n·2n-1（n∈N*），是否存在等差数列{an}对一切自然数n满足上述等式？
（2）若数列{an}是公比为q(q≠±1)首项为1的等比数列，b1+b2+…+bn=Sn2n(n∈N*).求证：{bn}是等比数列.
（1）解析：假设存在等差数列{an}满足条件.设an=dn+a,∴·a1+·a2+…+·an=d(
+2
+…+n
)+a(
+
+…+
)=d(n·
+n·
+…+n·
)+a·(2n-1)=d·n·2n-1+a·(2n-1)=n·2n-1.
令d=1，a=0满足上式.
故存在等差数列{an}满足题设.
（2）证明：an=
,
∴Sn=
［
·（q-1）+
·(q2-1)+…+
(qn-1)］
=
［(
+
·q+
·q2+…+
·qn)-( 
+
+…+
)］=
［(1+q)n-2n］.
∴Sn2n=
［(1+q2)n-1］.
当n≥2时，bn=
［(
)n-(
)n-1］=
·（
）n-1;
当n=1时，b1=
=
满足上式 .
∴bn=
·（
）n-1.故{bn}是首项为
，公比为
的等比数列.
练习册系列答案
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a1+
a2+…+
an,n∈N*.
(n∈N*).求证:{bn}是等比数列.