Question

已知数列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1-1（n≥2，n∈N），则

lim

n→∞

an

2n+1-3

=

3

4

．

Answer 1

分析：通过已知递推关系式，构造新数列，求出新数列的通项公式，然后推出数列的通项公式，代入极限的表达式，利用数列极限的求解法则，计算出结果即可．

解答：解：因为数列{a_n}中，a₁=4，a_n=2a_n-1-1（n≥2，n∈N），
所以a_n-1=2（a_n-1-1）（n≥2，n∈N），
所以数列{a_n-1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n-1=3×2^n-1．
∴a_n=3×2^n-1+1．
则

lim

n→∞

an

2n+1-3

=

lim

n→∞

3×2n-1+1

2n+1-3

=

lim

n→∞

3+ 1 2n-1

4 - 3 2n-1

=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列的极限的求法，解题的关键是构造新数列，求出新数列的通项公式，考查计算能力．