Question

正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.

(1)求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；?

(2)求点D₁到平面B₁EF的距离.?

Answer 1

(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), B(2,2,0), E(2,,0), F(2,2,0), D₁(0,0,4), B₁(2,2,4).

=(-,,0), =(22,22,0), =(0,0,4),

∴·=0, ·=0.

∴EF⊥DB,EF⊥DD₁.

∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)解析：设平面B₁EF的法向量n=(x, y, z),则n⊥,n⊥.?

又=(0,,4),

∴n·=-x+y=0,n·=y+4z=0.

∴x=y, z=-y.?

取y=1,得n=(1,1，-).

又D₁B₁=(22,22,0),∴点D₁到平面B₁EF的距离d= =.

温馨提示：利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例?D₁B₁).