题目内容

设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若?x∈R， $数学公式$ 恒成立，求实数t的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，∴x＜-5
当 $\text{[math]}$ ，∴1＜x＜2
当x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分）
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，若?x∈R， $\text{[math]}$ 恒成立，
则只需 $\text{[math]}$ ，
综上所述 $\text{[math]}$ ．------------------------------（10分）
分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|-|x-2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，
（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若?x∈R， $\text{[math]}$ 恒成立，只须 $\text{[math]}$ 即可，求出实数t的取值范围．
点评：考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．