题目内容
已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足
（n∈N*），其中p为正常数，且p≠1．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若p=
，设数列{bn}对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2
，问数列{bn}是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
【答案】分析：（1）再写一式，两式相减，可得数列是等比数列，即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由题意，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立，等价于
＞
，分类讨论，即可求得结论；
（3）假设存在，利用错位相减法，即可求得结论．
解答：解：（1）因为
，所以当n≥2时，
，
两式相减得（p-1）an=an-an-1，即pan=an-1，所以
=
，
所以数列{an}为等比数列，公比为
，
又当n=1时，（p-1）s1=p2-a1，即（p-1）a1=p2-a1，所以pa1=p2，
因为p＞0，所以a1=p，
所以{an}的通项公式为：an=
=
；
（2）由（1）知，a1•a4•a7•…•a3n-2=p•
•
•…•
=
，a78=
，
∴a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立，等价于
＞
p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，
＞1，∴
，解得n＜-
或n＞8，
故存在最小值为8的M，使得a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立；
当p＞1时，0＜
＜1，所以
，解得-
＜n＜8，不合题意，
综合可得：当0＜p＜1时，所求M的最小值为8；
（3）p=
时，an=2n-2，设存在数列{bn}是等差数列，其通项为bn=kn+b，则
∵b1•2n-2+b2•2n-3+…+bn-1
，
∴b1•2n-1+b2•2n-2+…+2bn-1
，
两式相减可得b1•2n-1+k（2n-2+2n-3+…+1）-
bn=
∴
=
∴
∴k=1，b=0
∴bn=n，
即存在数列{bn}是等差数列，其通项为bn=n，对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2
，
点评：本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属中档题．
（2）由题意，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立，等价于
＞，分类讨论，即可求得结论；（3）假设存在，利用错位相减法，即可求得结论．
解答：解：（1）因为
，所以当n≥2时，，两式相减得（p-1）an=an-an-1，即pan=an-1，所以
=，所以数列{an}为等比数列，公比为
，又当n=1时，（p-1）s1=p2-a1，即（p-1）a1=p2-a1，所以pa1=p2，
因为p＞0，所以a1=p，
所以{an}的通项公式为：an=
=；（2）由（1）知，a1•a4•a7•…•a3n-2=p•
••…•=，a78=，∴a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立，等价于
＞p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，
＞1，∴，解得n＜-或n＞8，故存在最小值为8的M，使得a1•a4•a7•…•a3n-2＞a78恒成立；
当p＞1时，0＜
＜1，所以，解得-＜n＜8，不合题意，综合可得：当0＜p＜1时，所求M的最小值为8；
（3）p=
时，an=2n-2，设存在数列{bn}是等差数列，其通项为bn=kn+b，则∵b1•2n-2+b2•2n-3+…+bn-1
，∴b1•2n-1+b2•2n-2+…+2bn-1
，两式相减可得b1•2n-1+k（2n-2+2n-3+…+1）-
bn=∴
=∴
∴k=1，b=0
∴bn=n，
即存在数列{bn}是等差数列，其通项为bn=n，对任意n∈N*，都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2
，点评：本题为等差、等比数列与不等式的综合应用，考查错位相减法的运用，考查分类讨论的数学思想，属中档题．
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