Question

(1)讨论函数()的图像与直线的交点个数.
(2)求证:对任意的,不等式总成立.

Answer 1

(1)解:由题意得:.令,得．
当时,,故函数在上递增；
当时,,故函数在上递减；
又因为,,,所以当或时,没有交点；当或时,有唯一的交点；当时,有两个交点.
(2)证明:由(1)知函数在上递增,在上递减,故在上的最大值为.即对均有,故.
当时,结论显然成立；当时,有:

.
综上可知,对任意的,不等式成立.

本试题主要考查了运用导数的知识来解决图像与图像的交点问题，以及运用构造函数，结合导数来证明不等式的综合试题。解决该试题的关键是对于不等式证明，要用到一问中的结论，来进行放缩得证。