Question

2．如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为（　　）

• A． 7
• B． $\sqrt{39}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 8

Answer 1

分析 取CD中点M，连接OD、OM、OP、OA，可得OM⊥CD且OP⊥AB．Rt△OPA中运用勾股定理算出OA=4$\sqrt{2}$，根据相交弦定理和题中数据算出弦CD=10，从而在Rt△OMD中用勾股定理算出OM，即得圆心O到CD的距离．

解答 解：取CD中点M，连接OD、OM、OP、OA，
根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离，
∵PA=PB=4，即P为AB中点，
∴OP⊥AB，可得OP=4．
Rt△OPA中，OA=$\sqrt{O{P}^{2}+A{P}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵PA=PB=4，PD=4PC，
∴由PA•PB=PC•PD，即4²=4PC²，可得PC=2，
因此，PD=4PC=8，得CD=10，
∴Rt△OMD中，DM=$\frac{1}{2}$CD=5，OD=OA=4$\sqrt{2}$，
可得OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故选：C．

点评 本题给出圆的相交弦，在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离，着重考查了相交弦定理、垂径定理等圆的常用性质的知识，属于基础题．