Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求使f（x）≥2的x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵sin(2x+

π

6

)=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

，
sin(2x-

π

6

)=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

，cos²x=

1

2

(cos2x+1)
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)+2cos2x
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

+cos2x+1
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
可得f（x）的最小正周期T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的递增区间是[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（x）≥2，得2sin(2x+

π

6

)+1≥2（k∈Z），即sin(2x+

π

6

)≥

1

2

，
根据正弦函数的图象，可得

π

6

+2kπ≤2x+

π

6

≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解之得kπ≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴使不等式f（x）≥2成立的x取值范围是{x|kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z}．