Question

已知F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点△ABF₂是正三角形，那么双曲线的离心率为（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、3
• D、

  3

Answer 1

分析：由△ABF₂是正三角形，可得∠AF₂F₁=30°，从而在Rt△AF₁F₂中，由F₁F₂=2c可求AF₁，AF₂，再根据双曲线的定义可知AF₂-AF₁=2a可建立a，c之间的关系，根据公式e=

c

a

可求

解答：解：由△ABF₂是正三角形，可得∠AF₂F₁=30°
在Rt△AF₁F₂中，F₁F₂=2c
∴AF1=

2 3

3

c，AF2=

4 3

3

c
根据双曲线的定义可得，AF2-AF1=2a=

2 3 c

3

∴e=

c

a

=

3

故选D

点评：本题主要考查了双曲线的定义的应用：AF₂-AF₁=2a，还考查了双曲线的离心率公式的应用，解题的关键是由△ABF₂是正三角形得到∠AF₂F₁=30°．