Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=1，当n≥2时，都有a_n=a_n-1+2n-1，记Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：T_n＜2；
（Ⅲ）令bn=1-

1

an+1

，B_n=b₁b₂…b_n，试比较

n

3n-1

与B_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n≥2时，利用a_n=a_n-1+2n-1，写出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（Ⅲ）先计算当n=1时，

n

3n-1

=1＞

3

4

=Bn；当n=2时，

n

3n-1

=

2

3

=Bn；当n=3时，

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn；
猜想当n≥3时，

n

3n-1

＜Bn，再用数学归纳法证明．

解答：（Ⅰ）解：当n≥2时，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×

(n-1)(2+n)

2

-(n-1)
∴an=n2．
又当n=1时，a₁=1满足上式，故an=n2．
（Ⅱ）证明：Tn=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
（Ⅲ）解：bn=1-

1

(n+1)2

=

n(n+2)

(n+1)2

，Bn=

1×3

22

•

2×4

32

•

3×5

42

…

n(n+2)

(n+1)2

=

n+2

2(n+1)

，
当n=1时，

n

3n-1

=1＞

3

4

=Bn；
当n=2时，

n

3n-1

=

2

3

=Bn；
当n=3时，

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn；
猜想当n≥3时，

n

3n-1

＜Bn．
以下用数学归纳法证明：
①当n=3时，左边=

n

3n-1

=

1

3

＜

5

8

=Bn=右边，命题成立．
②假设当n=k（k≥3）时，

k

3k-1

＜Bk=

k+2

2(k+1)

，即

k+1

3k-1

＜

k+2

2k

．
当n=k+1时，

k+1

3k

=

1

3

•

k+1

3k-1

＜

1

3

•

k+2

2k

＜

k+3

6k

=

k+3

2(k+2k)

＜

k+3

2(k+2)

=Bk+1，命题成立．
故当n≥3时，

n

3n-1

＜Bn．
综上所述，当n=1时，

n

3n-1

＞Bn，
当n=2时，

n

3n-1

=Bn，
当n≥3时，

n

3n-1

＜Bn．

点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项公式，考查不等式的证明，同时考查裂项法，数学归纳法的运用，先猜后证是关键．