Question

已（12分）知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，一个焦点是F（0，1）．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）直线过点F交椭圆于A、B两点，且，求直线的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

试题分析： （1）根据已知中的条件得到离心率和a的关系式，进而得到椭圆的方程。

（2）对于直线斜率是否存在要给予讨论，并联立方程组的思想，结合韦达定理和向量关系式得到k的方程，求解得到k的值。

解：（Ⅰ）设椭圆方程为（>b>0）．

依题意，, c=1，，，………………………………2分

∴所求椭圆方程为 ．………4分

（Ⅱ）若直线的斜率k不存在，则不满足．

当直线的斜率k存在时，设直线的方程为．因为直线过椭圆的焦点F（0，1），所以取任何实数, 直线与椭圆均有两个交点A、B．

设A 

联立方程   消去y，

得．…………6分

，      ①

，                  ②

由F（0，1），A，

则，

，∴，

得．……………………8分

将代入①、②，

得， ③

， ④……………10分

由③、④ 得，，

化简得，解得，.∴直线的方程为：．12分

考点：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的运用。

点评：解决该试题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质，根据其性质得到参数a,b的值，进而得到其方程。同时联立方程组，结合向量的关系式和韦达定理得到从那数k的值。