Question

已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，Tn=b1+b2+…+bn，若3-T_n＜m（m∈Z）恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）用错位相减法求出T_n的表达式即可求出对应的m的最小值．

解答：解：（1）由题意得

log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2

，

2a+b=3 5a+b=9

，∴解得

a=2 b=-1

，…（2分）∴f（x）=log₃（2x-1）an=3log3(2n-1)=2n-1，n∈N*…（4分）
（2）由（1）得bn=

2n-1

2n

，∴Tn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

①

1

2

Tn= 

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

②①-②得：

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

21

+(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

．∴Tn=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，…（9分）
设f(n)=3-Tn=

2n+3

2n

，n∈N*，
则由

f(n+1)

f(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1得f(n)=

2n+3

2n

，n∈N*随n的增大而减小∴当n=1时，fmax(n)=f(1)=

5

2

又3-T_n＜m（m∈Z）恒成立，∴m_min=3．…（14分）

点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．