Question

设数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=1，a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1（n≥2），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，；
（3）试探究：当n≥2时，是否有？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题可得a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1，两边同时除以a_na_n-1可得，所以进而得到答案．
（2）根据数列的通项公式得特征可得：，，进而通过放缩法证明原不等式．
（3）根据所证不等式的特征可得：，利用放缩法可得；由（2）可得只需证明即可，
即证明2n+1＞6成立即可，显然经过验证可得此不等式正确．
解答：解：（1）∵a_n≠0
∴a_na_n-1≠0（n≥2）
∴，
即即有，
∴=1+3+5+7+…+（2n-1）=（n≥2）
又也适合上式，
∴．
（2）证明：∵
∴
∵当n≥2时，
∴=＜2．
又∵
∴=
∴当n≥2时，．
（3）∵
∴
=
当n≥2时，要只需
即需2n+1＞6，显然这在n≥3时成立
而，当n≥2时显然
即当n≥2时也成立
综上所述：当n≥2时，有．
点评：本题出现的问题是求通项求和过程中的运算不过关，解决与数列有关的不等式问题时一般利用的方法是放缩法．