题目内容
已知数列{an}中，a1=-1，an+1=2an+3．
（1）若bn=an+3，证明{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
（1）若bn=an+3，证明{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
（1）证明：∵a1=-1，an+1=2an+3
∴an+1+3=2（an+3），a1+3=2
∴bn+1=2bn
∴数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，bn=an+3=2n
∴an=2n-3
（3）∵cn=nbn=n•2n
∴sn=1•2+2•22+…+n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，-sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
-n•2n+1
=（1-n）•2n+1-2
∴sn=（n-1）•2n+1+2
∴an+1+3=2（an+3），a1+3=2
∴bn+1=2bn
∴数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，bn=an+3=2n
∴an=2n-3
（3）∵cn=nbn=n•2n
∴sn=1•2+2•22+…+n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，-sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
=（1-n）•2n+1-2
∴sn=（n-1）•2n+1+2
练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
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B、
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C、
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D、
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