Question

已知函数f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是

a≥-

17

12

．

Answer 1

分析：先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥

22x+2-2x

2(2-x-2x)

=

(2x-2-x)2+2

2(2-x-2x)

=

1

2-x-2x

+2-x-2x）×

1

2

，通过换元，讨论出右边在x∈（0，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．

解答：解：∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数
∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
又∵由h（x）+g（x）=2^x，
h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2^-x，
∴h（x）=

1

2

(2x+2-x)，g（x）=

1

2

(2x-2-x)
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为a(2x-2-x)+

1

2

(22x+2-2x)≥0，x∈[1，2]
∵1≤x≤2∴2^x-2^-x＞0
令t=2^-x-2^x，
整理得：a≥

22x+2-2x

2(2-x-2x)

=

(2x-2-x)2+2

2(2-x-2x)

=

1

2-x-2x

+

2-x-2x

2

=

1

2

t+

1

t

=

1

2

（t+

2

t

），则由-

15

4

≤t≤-

3

2

可知y=

1

2

（t+

2

t

）在[-

15

4

，-

3

2

]单调递增
∴当t=-

3

2

时，ymax=-

17

12

因此，实数a的取值范围是a≥-

17

12

故答案为a≥-

17

12

点评：本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．