Question

【题目】已知数列的首项，其前项和为，设.

（1）若，，且数列是公差为的等差数列，求；

（2）设数列的前项和为，满足.

①求数列的通项公式；

②若对，且，不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①；②

【解析】

（1）由条件知，即，从而判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为，利用公式，求和；

（2）首先求得数列的通项公式，，再利用构造可得，求得数列为等比数列，且公比为，从而求得数列的通项公式；②

不等式等价为，利用①的结果，讨论为奇数和为偶数两种情况，讨论求的取值范围.

（1）由条件知，即，

所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为.

由，，所以，即，

所以，.

所以.

（2）①由，得，

由于符合上式，所以，

所以.

所以，即，

所以数列为等比数列，且公比为，

因为，所以.

②不等式即为，

由于，所以不等式即为.

当是奇数时，，，

所以，

即对，且恒成立，

所以，解得.

当为偶数时，，，

由，得对，且恒成立，

所以，解得，

因为，所以的取值范围是.