Question

13．若等差数列{a_n}的首项${a_1}=C_{5m}^{11-2m}-A_{11-3m}^{2m-2}（m∈{N^*}）$，公差是${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^n}$的展开式中的常数项，其中n为77⁷⁷-15除以19的余数，则等差数列{a_n}的通项公式a_n=-4n+104．

Answer 1

分析 由题意列不等式组求得数列首项，再由二项式定理求得n，进一步得到等差数列的公差，代入等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由${a_1}=C_{5m}^{11-2m}-A_{11-3m}^{2m-2}（m∈{N^*}）$，得
$\left\{\begin{array}{l}{11-2m≤5m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{7}≤m≤\frac{13}{5}$，
∵m∈N^*，∴m=2．
则${a}_{1}={C}_{10}^{7}-{A}_{5}^{2}$=100．
又由77⁷⁷-15=（76+1）⁷⁷-15=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-15，
可得n=5，则数列的公差d=-4，
从而等差数列的通项公式是a_n=104-4n，
故答案为：-4n+104．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了排列组合及二项式定理的应用，综合性较强，属中档题．